Pump.fun 的代幣發射平台，會讓每一枚新代幣運行在一條採用恆定乘積公式的聯合曲線上，其數學形式與 Uniswap V2 類似，但使用的是虛擬儲備。
在代幣部署時，Pump.fun 的全域設定會為每一條聯合曲線預先寫入固定的虛擬儲備，用來建立初始價格，並避免分母為零的問題。
實際上，初始虛擬 SOL 儲備 (v_s) 為：
初始虛擬代幣儲備 (v_t) 為：
也就是約 10.73 億枚代幣。
兩者相乘得到恆定乘積常數：
因此：
單位為：
在整條聯合曲線的交易過程中，(k) 維持不變。
由此可以得到代幣的初始價格：
若按照 10 億枚總供應量計算，初始完全稀釋估值約為：
換句話說，Pump.fun 在幾乎沒有真實初始流動性的情況下，利用兩組「虛擬儲備」先建立出一個極低的起始價格。
買入機制：恆定乘積如何執行交易
當使用者投入 (s) 枚 SOL 購買代幣時，聯合曲線必須始終滿足：
其中：
- (x)：當前 SOL 虛擬儲備；
- (y)：當前代幣虛擬儲備；
- (k)：恆定乘積常數。
當使用者投入：
枚 SOL 後，新的 SOL 儲備變成：
由於仍然必須滿足：
因此新的代幣儲備為：
買家實際取得的代幣數量，就是交易前後代幣儲備的差值：
代入後得到：
又因為：
所以可以整理為：
也就是說，每一筆買入都嚴格沿著恆定乘積曲線執行，其數學形式與 Uniswap V2 的兌換公式相同。
為什麼 3.33 SOL 就能拿走大量早期籌碼？
把初始參數代入：
假設第一名買家投入：
那麼：
約等於：
也就是約：
枚代幣。
換言之，只需要約 3.33 SOL，在這套理論模型下便可以取得超過一億枚早期代幣。
這個極端結果直接來自非常小的初始 SOL 虛擬儲備：
在曲線起點附近，代幣相對 SOL 的邊際取得效率約為：
即：
這正是 Pump.fun 早期交易具有巨大先發優勢的數學原因。
越早進場，所在位置越接近整條聯合曲線最便宜的區域。
因此在實際市場中，機器人或大額交易者可以利用極快的交易速度，在其他參與者反應之前取得大量早期籌碼。
賣出機制與流動性保障
賣出則是完全相反的過程。
假設使用者向合約賣回：
枚代幣。
代幣儲備增加為：
為了繼續維持：
新的 SOL 儲備必須變成：
因此，合約向賣家支付的 SOL 數量為：
也就是：
利用：
可以進一步整理成：
這正是買入公式的反向運算。
因此，買入與賣出都沿著完全相同的恆定乘積曲線移動。
在這套模型下，池子中的有效真實 SOL 可以理解為：
也就是當前 SOL 儲備扣除最初的 30 SOL 虛擬基準。
只要聯合曲線仍按照：
運作，合約便會按照交易當下的曲線位置計算賣出者可以換回多少 SOL。
因此，這套聯合曲線本身形成了一個封閉式的自動流動性系統。
直到曲線中的真實可售代幣耗盡為止。
價格函數：為什麼價格會加速上升？
代幣在任意時刻的瞬時價格可以表示為：
由於：
所以：
代入價格公式：
得到：
這意味著：
代幣價格與 SOL 儲備的平方成正比。
如果 SOL 儲備增加一倍：
那麼價格會變成：
也就是四倍。
因此，SOL 的線性流入，對應的是價格的二次方增長。
這正是 Pump.fun 聯合曲線看起來具有強烈「加速上漲」特徵的原因。
滑點：你買得越多，後面的代幣越貴
每一筆買入本身都會改變曲線的位置。
交易開始之前，瞬時價格為：
但當第一部分 SOL 被投入後：
已經上升，而：
開始下降。
因此價格：
會在整筆交易過程中不斷提高。
所以一筆買單的平均成交價格：
通常會高於交易開始前的瞬時價格：
而且：
越大，滑點就越明顯。
這就是典型的 Uniswap 式恆定乘積滑點。
Pump.fun 並不是讓一大筆交易全部按照「螢幕上看到的當前價格」成交。
交易本身就在推動價格。
因此可以把它理解為：
你買得越多，就必須沿著曲線向更昂貴的位置走得越遠。
畢業門檻：曲線的最終價格與市值
當代幣的真實代幣儲備降至零，也就是聯合曲線中約 8 億枚可售代幣全部被買走時，代幣便完成「畢業」。
假設曲線出售：
枚代幣。
初始虛擬代幣儲備為：
那麼曲線完成時的虛擬代幣儲備為：
得到：
即：
枚。
根據：
此時 SOL 儲備為：
即：
約為：
扣除最初的 30 SOL 虛擬基準：
因此理論上累積的淨 SOL 約為：
畢業時的瞬時價格
此時價格為：
即：
約為：
相比初始價格：
整條聯合曲線內的理論價格漲幅約為：
也就是：
如果按照 10 億枚總供應量計算完全稀釋估值：
得到：
按照不同時期的 SOL 美元價格換算，大約相當於數萬至十萬美元級別的完全稀釋估值。
畢業後的流動性遷移
當聯合曲線完成後，系統會觸發流動性遷移。
Pump.fun 早期主要將完成曲線的代幣遷移至 Raydium。
但自 2025 年 3 月 Pump.fun 推出自己的自動做市協議 PumpSwap 後，畢業代幣的流動性遷移開始轉向 PumpSwap。
因此整個生命週期可以理解為：
在遷移階段，系統會把為流動性預留的代幣與聯合曲線累積的 SOL 配對，建立新的鏈上自動做市池。
原文模型中，以約：
枚預留代幣，搭配約：
建立新的流動性池。
產生的流動性提供者憑證則會被銷毀或鎖定，使底層流動性不能再被普通持有人隨意提取。
從使用者的角度來看，遷移完成之後，交易場所便正式從：
Pump.fun 聯合曲線
切換成：
PumpSwap 自動做市池。
也就是說，「畢業」並不代表市場結束。
而是代表：
代幣的價格發現機制，從聯合曲線切換成正式的自動做市池。
這套數學為什麼天然存在搶跑風險？
Pump.fun 的聯合曲線有一個非常明顯的經濟特徵：
最早的交易具有極大的先發優勢。
原因仍然來自初始：
SOL。
在曲線最開始的位置：
意味著邊際上 1 SOL 可以對應約：
而隨著 SOL 不斷進入曲線：
代幣儲備：
價格：
開始快速上升。
所以晚一點進入的人，不只是在「比較高的位置」買入。
而是在一條本身會加速變昂貴的曲線上買入。
這給速度極快的機器人、大額交易者以及能夠在代幣剛建立時立即成交的參與者，帶來明顯優勢。
機器人搶跑
由於聯合曲線本身沒有時間限制，只要交易符合合約條件，就可以立即執行。
因此機器人可以在新代幣建立後迅速提交交易，搶先取得曲線最前段、成本最低的代幣。
數學本身並不會判斷：
「這是不是機器人？」
也不會判斷：
「這個人是不是買得太早？」
它只會執行：
因此，速度就會直接轉化成經濟優勢。
這不是聯合曲線遭到「破解」。
而是聯合曲線規則本身帶來的博弈結果。
開發者砸盤風險
同樣的數學也解釋了為什麼 Pump.fun 上的早期大額持幣者具有巨大的價格影響力。
如果某個早期地址以極低成本取得大量代幣，那麼隨著後續買家把：
推高，代幣價格也會沿著：
快速上升。
早期持有人此時再把大量代幣賣回聯合曲線，或者在畢業後透過自動做市池出售，就可以把自己的早期籌碼轉換成後來進入市場的 SOL。
從數學上看，這並不是系統失效。
恰恰相反。
系統正在完全按照原本設計的公式運作。
問題在於籌碼分布。
如果大量低成本籌碼集中在少數早期地址手中，那麼價格上漲之後，這些地址就天然擁有巨大的退出權。
沒有時間鎖，也沒有交易量鎖
標準 Pump.fun 聯合曲線本身並不依靠持倉時間決定交易價格。
無論你持有：
一秒、
一分鐘、
還是一小時，
賣出的核心計算仍然取決於當下的：
與：
也就是：
因此，聯合曲線本身不會因為某個地址剛買入就禁止它立即賣出，也不會因為交易頻率過高而自動改變定價模型。
這意味著高頻投機行為並不會被聯合曲線數學本身阻止。
Pump.fun 真正的數學核心
把所有細節剝掉之後，Pump.fun 的聯合曲線其實可以濃縮成幾條非常簡單的數學關係。
首先：
買入：
賣出：
瞬時價格：
這幾個公式共同構成了 Pump.fun 早期代幣發射市場的數學骨架。
它最大的優點，也是最大的殘酷之處，都來自同一件事：
規則極其簡單，而且對所有人一視同仁。
它不需要做市商判斷價格。
不需要人工管理訂單簿。
不需要等待市場雙方找到交易對手。
任何一個人只要投入 SOL，智能合約就可以立即告訴他：
你能拿多少代幣。
任何一個人只要把代幣賣回去，智能合約也可以立即計算：
你能拿回多少 SOL。
這套機制讓一枚剛剛建立、沒有傳統流動性的 Meme 幣，在數秒之內擁有一個可以交易的市場。
但同樣因為規則完全由曲線決定，它也不會替後來者提供任何特殊保護。
越早站上曲線的人，成本越低；越晚進入的人，必須沿著已經被推高的曲線繼續付費。
所以 Pump.fun 最值得理解的地方，從來不只是「它讓任何人都可以發 Meme 幣」。
真正的創新是：
它把一枚新代幣從零流動性、價格發現、持續交易到二級市場遷移的過程，壓縮進了一套可以由智能合約自動執行的數學機器。
而這台機器既不理解 Meme，也不理解情緒。
它只知道：